thumb|right|120px|Параболоид вращения thumb|right|120px|Гиперболический параболоид thumb|left|150px|Форма из дерева, иллюстрирующая гиперболический параболоид Параболо́ид ― тип поверхности второго порядка в трёхмерном евклидовом пространстве.

Параболоид может быть охарактеризован как незамкнутая нецентральная (то есть не имеющая центра симметрии) поверхность второго порядка.

Канонические уравнения параболоида в декартовых координатах:

<math>z= tx^2+uy^2,</math>

где <math>t</math> и <math>u</math> — действительные числа, не равные нулю одновременно.

При этом:

• если <math>t</math> и <math>u</math> одного знака, то параболоид называется эллиптическим, частный случай эллиптического параболоида <math>t = u,</math> в этом случае поверхность принято называть параболоидом вращения;
• если <math>t</math> и <math>u</math> разного знака, то параболоид называется гиперболическим;
• если один из коэффициентов равен нулю, то параболоид называется параболическим цилиндром.

Cечения параболоида вертикальными (параллельными оси <math>z</math>) плоскостями произвольного положения — параболы.

Сечения параболоида горизонтальными плоскостями, параллельными плоскости <math>x,\ y</math> для эллиптического параболоида — эллипсы, для параболоида вращения эти пересечения — окружности, когда такое пересечение существует.

Пересечения для гиперболического параболоида — гиперболы.

В частных случаях пересечения, сечением может оказаться прямая или пара прямых (для гиперболического параболоида или пара параллельных прямых для параболического цилиндра) или вырождаться в одну точку (для эллиптического параболоида).

Эллиптический параболоид

thumb|180px|right|Эллиптический параболоид при <math>a=b=1</math> Эллипти́ческий параболо́ид — поверхность, задаваемая функцией вида:

<math>z = \frac {x^2}{a^2} + \frac {y^2}{b^2}.</math>

Эллиптический параболоид можно описать как семейство параллельных парабол с ветвями, направленными вверх, вершины которых описывают параболу, с ветвями, также направленными вверх (см. рисунок).

Если <math>a=b</math>, то эллиптический параболоид представляет собой поверхность вращения, образованную вращением параболы вокруг её оси симметрии.

Гиперболический параболоид

thumb|right|180px|Гиперболический параболоид при <math>a=b=1</math> Гиперболи́ческий параболо́ид (называемый в строительстве «гипар») — седловая поверхность, описываемая в прямоугольной системе координат уравнением вида

Также гиперболический параболоид может быть образован движением параболы, ветви которой направлены вниз, по параболе, ветви которой направлены вверх (см. рисунок).

thumb|left|180px|Гиперболический параболоид как линейчатая поверхность Гиперболический параболоид является линейчатой поверхностью.

Поверхность, порождаемая билинейной интерполяцией некоторой функции по 4 точкам, является гиперболическим параболоидом.

Интересные факты

• Поверхность жидкости в равномерно вращающемся сосуде является параболоидом вращения (что не является прямой причиной его названия).
• Часто используется свойство параболоида вращения собирать пучок лучей, параллельный главной оси, в одну точку — фокус, или, наоборот, формировать параллельный пучок излучения от находящегося в фокусе источника. На этом принципе основана работа параболических антенн, телескопов-рефлекторов с параболическим зеркалом, прожекторов, автомобильных фар и т. д. Подробнее, см. рефлектор (зеркало).

См. также

• Гиперболоид — другой вид поверхности второго порядка.
• Поверхности второго порядка.
• Квадратичная форма.